已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM=λAB．（-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设

AM

=λ

AB

．
（Ⅰ）证明：λ=1-e²；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

试题来源：湖南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（-

a

e

，0）（0，a）．
由

y=ex+a

x2

a2

+

y2

b2

=1

得

x=-c

y=

b2

a

．这里c=

a2+b2

．
所以点M的坐标是（-c，

b2

a

）．由

AM

=λ

AB

得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a）．
即

a

e

-c=λ

a

e

b2

a

=λa

．解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，
要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

1

2

|PF₁|=c．
设点F₁到l的距离为d，
由

1

2

|PF₁|═d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=

|a-ec|

1+e2

=c，
得

1-e2

1+e2

=e．
所以e²=

1

3

，于是λ=1-e²=

2

3

．
即当λ=

2

3

时，△PF₁F2为等腰三角形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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