已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）已知动直线l过点P（3-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出L′的方程；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x；由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（-1，0）₁，F₂（1，0），∴c=1；
对于椭圆，2a=|MF₁|+|MF₂|=

(1+1)2+22

+

(1-1)2+4

=2+2

2

；∴a=1+

2

∴a2=(1+

2

)2=3+2

2

∴b²=a²-c²=2+2

2

∴椭圆方程为：

x2

3+2

2

+

y2

2+2

2

=1
对于双曲线，2a'=||MF₁|-|MF₂||=2

2

-2
∴a'=

2

-1
∴a'²=3-2

2

∴b'²=c'²-a'²=2

2

-2
∴双曲线方程为：

x2

3-2

2

-

y2

2

-2

=1

（2）设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H．
令A(x1，y1)，∴C(

x1+3

2

，

y1

2

)
∴|DC|=

1

2

|AP|=

1

2

(x1-3)2+y12

|CH|=|

x1+3

2

-a|=

1

2

|(x1-2a)+3|
∴|DH|²=|DC|²-|CH|²=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[(x1-2a)+3]2
=（a-2）x₁-a²+3a
当a=2时，|DH|²=-4+6=2为定值；
∴|DE|=2|DH|=2

2

为定值
此时l'的方程为：x=2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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