已知双曲线C的渐近线方程为y=±3x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为3．（1）求双曲线C的方程；（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：|AB||FD-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线C的渐近线方程为y=±3x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知双曲线C的渐近线方程为y=±

3

x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：

|AB|

|FD|

为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设双曲线方程为3x²-y²=λ（λ＞0）…（2分）
由题知c=2，∴

λ

3

+λ=4，∴λ=3…（4分）
∴双曲线方程为：x2-

y2

3

=1…（5分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入x2-

y2

3

=1
整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点P（x₀，y₀）
则x0=-

2k2

3-k2

，代入l得：y0=

-6k

3-k2

…（7分）
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=…=

6(k2+1)

|3-k2|

…（8分）
AB的垂直平分线方程为y=-

1

k

(x+

2k2

3-k2

)-

6k

3-k2

…（9分）
令y=0得xD=

-8k2

3-k2

…（10分）
∴|FD|=|

-8k2

3-k2

-2|=|

-6(1+k2)

3-k2

|=

6(1+k2)

|3-k2|

…（11分）
∴

|AB|

|FD|

=1为定值．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线C的渐近线方程为y=±3x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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