已知函数f(x)=logmx-3x+3（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[logmm（β-1）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=logmx-3x+3（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-12 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=logm

x-3

x+3

（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；
（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

x-3

x+3

＞0得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．
∵f(-x)=logm

-x-3

-x+3

=logm

x+3

x-3

=logm(

x-3

x+3

)-1=-f(x)
∴f（x）为奇函数 …（3分）
（2）∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]?（3，+∞）．
设x₁，x₂∈[α，β]，则x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）
即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，
∴当0＜m＜1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
当m＞1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数． …（7分）
（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，
∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，
则有

logm

α-3

α+3

=logmm(α-1)

logm

β-3

β+3

=logmm(β-1)

…（9分）
∴

α-3

α+3

=m(α-1)

β-3

β+3

=m(β-1)

∴α，β是方程

x-3

x+3

=m(x-1)的两个解…（10分）
解得当0＜m＜

2-

3

4

时，[α，β]=[

1-2m-

16m2-16m+1

2m

，

1-2m+

16m2-16m+1

2m

]，
当

2-

3

4

≤m＜1时，方程组无解，即[α，β]不存在． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=logmx-3x+3（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：