设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线-数学试题及答案

1、试题题目：设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，（Ⅰ）求f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

设函数

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

试题来源：海南省高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）解：

，
于是

，
因a，b∈Z，
故

；
（Ⅱ）证明：已知函数

都是奇函数，
所以函数

也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形，
而

，
可知，函数g（x）的图像按向量

平移，即得到函数f（x）的图像，
故函数f（x）的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形；
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点

，
由

知，
过此点的切线方程为

，
令x=1得

，切线与直线x=1交点为

；
令y=x得

，切线与直线y=x交点为

；
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1），
从而所围三角形的面积为

；
所以，所围三角形的面积为定值2。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，（Ⅰ）求f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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