已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a?ex（a，b，c∈R）．（1）求b，c的值；（2）若存在x0∈（0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a?e^x（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x₀∈（0，2]，使g（x₀）=f′（x₀）成立，求a的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=3x²+2bx+c，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴

3+2b+c=3

-2-b=-

1

2

，即

b=-

3

2

c=3

，
∴f(x)=x3-

3

2

x2+3x．
（2）若存在x₀∈（0，2]使g(x0)=f′(x0)成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a?e^x=3x²-3x+3，
∴a=

3x2-3x+3

ex

，
令h(x)=

3x2-3x+3

ex

，
∴h′(x)=

6x-3-3x2+3x-3

ex

=

-3x2+9x-6

ex

=-

3(x2-3x+2)

ex

，
令h′（x）=0，得x₁=1，x₂=2，列表讨论：

x	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（x）	-	0	+	0
h（x）	↓	极小值	↑	极大值

∴h（x）有极小值h（1）=

3

e

，h（x）有极大值h（2）=

9

e2

，
且当x→0时，h（x）→3＞

9

e2

，
∴a的取值范围是[

3

e

，3)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：