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1、试题题目：已知函数f(x)=x+tx(t＞0)和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x+
t
x
(t＞0)和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+
64
n
]内总存在m+1个实数a1，a2，…，am，am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）成立，求m的最大值．

  试题来源：杭州二模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：导数的运算



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，
∵f′(x)=1-
t
x2
，
∴切线PM的方程为：y-(x1+
t
x1
)=(1-
t
x12
)(x-x1)，
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-(x1+
t
x1
)=(1-
t
x12
)(1-x1)，
即x12+2tx1-t=0，（1）
同理，由切线PN也过点P（1，0），得x22+2tx2-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx-t=0的两根，∴
x1+x2=-2t
x1?x2=-t.
（*）|MN|=
(x1-x2)2+(x1+
t
x1
-x2-
t
x2
)2

=
[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-
t
x1x2
)2]
，
把（*）式代入，得|MN|=
20t2+20t
，
因此，函数g（t）的表达式为g(t)=
20t2+20t
(t＞0)．
（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA=kNA，
∴
x1+
t
x1
-1
x1-0
=
x2+
t
x2
-1
x2-0
，即
x12+t-x1
x12
=
x22+t-x2
x22
，
化简，得（x2-x1）[t（x2+x1）-x1x2]=0
∵x1≠x2，∴t（x2+x1）=x2x1．（3）
把（*）式代入（3），解得t=
1
2
．
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且t=
1
2
．
（Ⅲ）知g（t）在区间[2 ， n+
64
n
]上为增函数，
∴g(2)≤g(ai)≤g(n+
64
n
)（i=1，2，，m+1），
则m?g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am)≤m?g(n+
64
n
)．
依题意，不等式m?g(2)＜g(n+
64
n
)对一切的正整数n恒成立，
m
20?22+20?2
＜
20(n+
64
n
)2+20(n+
64
n
)
，
即m＜
1
6
[(n+
64
n
)2+(n+
64
n
)]
对一切的正整数n恒成立．
∵n+
64
n
≥16，∴
1
6
[(n+
64
n
)2+(n+
64
n
)]
≥
1
6
[162+16]
=
136
3
，
∴m＜
136
3
．由于m为正整数，∴m≤6．
又当m=6时，存在a1=a2═am=2，am+1=16，对所有的n满足条件．
因此，m的最大值为6．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+tx(t＞0)和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。


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