已知实系数二次函数f（x）=ax2+bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．（1）若f（x）=2x2-1，g′（x）=f（x），且g（0）=0，数列{an}满足an=g（an-1），问数列{an}能否构成等差数列，若能，请求出-数学试题及答案

1、试题题目：已知实系数二次函数f（x）=ax2+bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知实系数二次函数f（x）=ax²+bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．
（1）若f（x）=2x²-1，g′（x）=f（x），且g（0）=0，数列{a_n}满足a_n=g（a_n-1），问数列{a_n}能否构成等差数列，若能，请求出满足条件的所有等差数列；若不能，请说明理由；
（2）求|a|+|b|+|c|的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设g（x）=dx³+ex²+hx+k，
则g′（x）=3dx²+2ex+h=2x²-1，
∴3d=2，2e=0，h=-1，
∴d=

2

3

，e=0，h=-1，
又g（0）=0，
∴k=0，
∴g(x)=

2

3

x3-x，
若数列{a_n}构成等差数列，
可设a_n=un+v，u，v为常数，
∵a_n=g（a_n-1），
∴a_n+1=g（a_n），
∴v+u(n+1)=

2

3

(un+v)3-(un+v)（*），
当u=0时，（*）简化为v=

2

3

v3-v，
由此解得：u=0，v=o，±

3

，
所以数列{a_n}能构成等差数列：
①0，0，0，…；②

3

，

3

，

3

，…；③-

3

，-

3

，-

3

．（4分）
（2）f（0）=c，
f（1）=a+b+c，
f（-1）=a-b+c，
三者都属于[-1，1]，
设w=|a|+|b|+|c|，不妨设a＞0，
①b，c≥0时，w=a+b+c=f（1）＜=1；
②b，c＜0时，w=a-b-c=f（-1）-2f（0）≤3；
③b≥0＞c时，w=a+b-c=f（1）-2f（0）≤3；
④c≥0＞b时，w=a-b+c=f（-1）≤1．
当a=2，b=0，c=-1时f（x）=2x²2-1满足题设，w=3．
∴所求最大值为3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知实系数二次函数f（x）=ax2+bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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