已知函数f（x）=lnx-12ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0．（Ⅰ）试用含a式子表示b；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=2，试求f（x）在区间[c，c+12]（c＞0）上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-12ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0．（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0）且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含a式子表示b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=2，试求f（x）在区间[c，c+

1

2

]（c＞0）上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），…（2分）
∵f′(x)=

1

x

-ax+b，f′（1）=1-a+b=0，
得：b=a-1．…（4分）
（Ⅱ）将b=a-1代入f′(x)=

1

x

-ax+b，
得f′(x)=

1

x

-ax+a-1
=-

(ax+1)(x-1)

x

．…（6分）
当f′（x）＞0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
∵a＞0，
∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增，
当f′（x）＜0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＜0，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
∵a＞0，∴x＞1，
即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（9分）
（Ⅲ）当c+

1

2

≤1，即0＜c≤

1

2

时，f（x）在[c，c+

1

2

]上单调递增．
所以f(x)max=f(c+

1

2

)
=ln（c+

1

2

）-（c+

1

2

）²+c+

1

2

=ln（c+

1

2

）+

1

4

-c2．…（11分）
当

c＜

1

2

c+

1

2

＞1

，即

1

2

＜c＜1时，f（x）在[c，1]上单调递增，在[1，c+

1

2

]上单调递减，
所以f（x）_max=f（1）=0．…（13分）
当c≥1时，f（x）在[c，c+

1

2

]上单调递减．
所以f(x)max=f(c)=lnc-c2+c．…（15分）
综上：f(x)max=

ln(c+

1

2

)-c2+

1

4

，0＜c≤

1

2

0，

1

2

＜c＜1

lnc-c2+c，c≥1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-12ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0．（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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