已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f（a?b）=af（b）+bf（a），且f(2)=2，an=f(2-n)n，则数列{an}的通项公式an=_____

1、试题题目：已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f（a?b）=af（b）+bf（a），且f(2)=2，an=

f(2-n)

n

，则数列{a_n}的通项公式a_n=______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

令a=1，b=1，得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
令a=2，b=

1

2

，得f（1）=2f（

1

2

）+

1

2

f（2），且f（2）=2，∴f（

1

2

）=-

1

2

，
令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n）
设A_n=f（2^-n）
∴A_n-1=2^-n-1+2A_n，
∴

An-1

2-(n-1)

=1+

An

2-n

，即

An

2-n

-

An-1

2-(n-1)

=-1，且

A1

2-1

=

f(

1

2

)

1

2

=-1
即数列{

An

2-n

}是以-1为，-1为首项的等差数列
∴

An

2-n

=-n，
∴A_n=-n?2^-n∴an=-

1

2n

．
故答案为：-

1

2n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

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