已知f（n）=1+12+13+…+1n(n∈N+)．经计算得f（2）=32，f（4）＞2，f（8）＞52，f（16）＞3，f（32）＞72…，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．（1）试写出这个一般性的结论；（2）请证明这个-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（n）=1+12+13+…+1n(n∈N+)．经计算得f（2）=32，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)．
经计算得f（2）=

3

2

，f（4）＞2，f（8）＞

5

2

，f（16）＞3，f（32）＞

7

2

…，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．
（1）试写出这个一般性的结论；
（2）请证明这个一般性的结论；
（3）对任一给定的正整数a，试问是否存在正整数m，使得1+

1

2

+

1

3

+…+

1

m

＞a？若存在，请给出符合条件的正整数m的一个值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）根据f（2）=

3

2

，f（4）＞2，f（8）＞

5

2

，f（16）＞3，f（32）＞

7

2

…，通过观察，
我们可以得到一个一般性的结论 f（2ⁿ）≥

n+2

2

，（当且仅当n=1时取等号）．…（4分）
（2）证明：（数学归纳法）
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时成立，即

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

≥1+

1

2

k，…（2分）
当n=k+1时，左边=

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

+…+

1

2×2k

≥1+

1

2

k+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

≥1+

1

2

k+

2k

2k+2k

=1+

1

2

(k+1)=右边．
即当n=k+1时，f（2ⁿ）≥1+

1

2n

也成立．…（3分）
由①②知，f（2ⁿ）≥1+

1

2n

成立． …（1分）
（3）由（2）可得，存在m满足条件．…（1分）
令 a=1+

1

2

k，只要

1

m

≥

1

2k

即可，即

1

m

≥

1

22a-2

=

4

22a

，即 m≥

22a

4

，
可取 m=2^2a．…（3分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（n）=1+12+13+…+1n(n∈N+)．经计算得f（2）=32，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：