如图1，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，图2是该几何体的主视图．（1）求该几何体的体积；（2）证明：DF1平面PA-数学试题及答案

1、试题题目：如图1，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图1，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，图2是该几何体的主视图．
（1）求该几何体的体积；
（2）证明：DF₁平面PA₁F₁．

试题来源：佛山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可知，该几何体由下部正六棱柱和上部正六棱锥组合而成，
∴正六棱柱的体积为：V₁=Sh=6×

1

2

×2×

3

×2=12

3

； …（3分）
正六棱锥的体积为：V2=

1

3

Sh=

1

3

×6×

1

2

×2×

3

×3=6

3

； …（6分）
∴该几何体的体积的体积为V=V₁+V₂=18

3

． …（7分）
（2）证明：∵侧面全为矩形，∴AF⊥FF₁；
在正六边形ABCDEF中，AF⊥DF，…（8分）
∵DF∩FF₁=F，∴AF⊥平面DFF₁； …（9分）
∵AF∥A₁F₁，∴A₁F₁⊥平面DFF₁；
又DF₁?平面DFF₁，∴A₁F₁⊥DF₁；…（11分）
（注：也可以由勾股定理得到）
在△DFF₁中，FF₁=2，DF=2

3

，∴DF₁=4，
∵PF1=PD1=

13

；
∴在平面PA₁ADD₁中，如图所示，PD=

52+22

=

29

，
∴DF12+PF12=PD2，故DF₁⊥PF₁；…（13分）
∵A₁F₁∩PF₁=F₁，∴DF₁⊥平面PA₁F₁． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图1，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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