设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1，32）到F1，F2两点的距离之和等于4．（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过点P（1，14）的直线与椭圆-数学试题及答案

1、试题题目：设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右两个焦..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

设F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁，F₂两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（1，

1

4

）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程；
（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点A（1，

3

2

）在椭圆上，因此

1

22

+

3

4

b2

=1，得b²=1，于是c²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，…（4分）
（2）显然直线DE斜率存在，设为k，方程为y-

1

4

=k(x-1)，设D（x₁′，y₁′），E（x₂′，y₂′），则
由

x2

4

+y2=1

y-

1

4

=k(x-1)

，消去y可得(1+4k2)x2+(2k-8k2)x+4k2-2k-

15

4

=0
∴

x1′+x2′

2

=

4k2-k

1+4k2

=1，∴k=-1
∴DE方程为y-1=-1（x-

1

4

），即4x+4y=5；…（9分）
（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得（m²+4）y²+2my-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y₁y₂=-

3

m2+4

，且△＞0成立．
又S_△OMN=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

×

4m2+12(m2+4)

m2+4

=

2

m2+3

m2+4

，
设t=

m2+3

≥

3

，则S_△OMN=

2

t+

1

t

，
（t+

1

t

）′=1-t^-2＞0对t≥

3

恒成立，∴t=

3

时，t+

1

t

取得最小，S_△OMN最大，此时m=0，
∴MN方程为x=1；…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右两个焦..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：