已知：f（x）=2cos2x+sin2x+a．（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）单调递增区间；（2）若f（x）在[-π6，π3]上最大值与最小值之和为3，求a的值；（3）在（2）条件下的f（x）与g（x）关于x=π4对称-数学试题及答案

1、试题题目：已知：f（x）=2cos2x+sin2x+a．（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）单调递..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-09 07:30:00

试题原文

已知：f（x）=2cos²x+sin2x+a．（a∈R，a为常数）
（1）若x∈R，求f（x）单调递增区间；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上最大值与最小值之和为3，求a的值；
（3）在（2）条件下的f（x）与g（x）关于x=

π

4

对称，写出g（x）的解析式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1．（2分）
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
故 f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．（4分）
（2）x∈[-

π

6

，

π

3

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]）．（7分）
∴f（x）的最大值为3+a，最小值为a，∴3+a+a=3，∴a=0．（9分）
（3）由（2）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，f（x）与g（x）关于x=

π

4

对称，
故g（x）=f（

π

2

-x）=sin[2（

π

2

-x）+

π

6

]=sin（π+

π

6

-2x）=-sin（

π

6

-2x）=sin（2x-

π

6

），
即 g（x）=sin（2x-

π

6

）．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：f（x）=2cos2x+sin2x+a．（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）单调递..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

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