在△ABC中，两个定点A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三条高线的交点）是AB边上高线CD的中点．（1）求动点C的轨迹方程；（2）斜率为2的直线l交动点C的轨迹于P、Q两点，求△OPQ面-数学试题及答案

1、试题题目：在△ABC中，两个定点A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三条高线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-14 07:30:00

试题原文

在△ABC中，两个定点A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三条高线的交点）是AB边上高线CD的中点．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）斜率为2的直线l交动点C的轨迹于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值（O是坐标原点）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：点到直线的距离

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设动点C（x，y）则D（x，0）．因为H是CD的中点，故H(x，

y

2

)
因为AH⊥BC所以k_AH?k_BC=-1故

y

2

x+3

?

y

x-3

=-1
整理得动点C的轨迹方程

x2

9

+

y2

18

=1(y≠0)
（2）设l：y=2x+m并代入

x2

9

+

y2

18

=1(y≠0)得6x²+4mx+m²-18=0，
∵△=（4m）²-4×6×（m²-18）＞0
∴54-m²＞0
即m∈(-3

6

，3

6

)，
|PQ|=

(1+22)[(-

4m

6

)2-4?

m2-18

6

]

=

10

3

54-m2

又原点O到直线l的距离为d=

|m|

5

∴S_△OPQ=

1

2

×

10

3

×

54-m2

×

|m|

5

=

2

6

(54-m2)m2

≤

2

6

×

54-m2+m2

2

=

9

2

当且仅当54-m²=m²即m=±3

3

时等号成立，
故△OPQ面积的最大值为

9

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在△ABC中，两个定点A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三条高线..”的主要目的是检查您对于考点“高中点到直线的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中点到直线的距离”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：