定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．-数学试题及答案

1、试题题目：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-14 07:30:00

试题原文

定长为3的线段AB的两端点在抛物线y²=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：点到直线的距离

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB长度为3，
那么x₁=y₁²，x₂=y₂²，（1）
3²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（y₂²-y₁²）²+（y₂-y₁）²=（y₂-y₁）²[（y₂+y₁）²+1]（2）
线段AB的中点M（x，y）到y轴的距离为x=

x1+x2

2

=

1

2

(

y

21

+

y

22

)=

1

4

[(y1-y2)2+((y1+y2)2+1)-1]≥

1

4

[2

(y1-y2)2((y1+y2)2+1)

-1]
由（2）得x≥

1

4

(2×3-1)=

5

4

，并且当（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²+1=3（3）
时x取得最小值x₀=

5

4

下证x能达到最小值，根据题意不妨设y₁＞y₂，由（3）得

y1-y2=

3

y1+y2=±

2

由此解得y₁，y₂，由（1）解得x₁，x₂，所以x可取得最小值

5

4

．
相应的M点纵坐标y0=

y1+y2

2

=±

2

∴M点坐标为(

5

4

，

2

)或(

5

4

，-

2

)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M..”的主要目的是检查您对于考点“高中点到直线的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中点到直线的距离”。

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