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1、试题题目：在△ABC中，满足AB与AC的夹角为60°，M是AB的中点．（1）若|AB|=|AC|，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

在△ABC中，满足
AB
与
AC
的夹角为60°，M是AB的中点．
（1）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
与
AB
的夹角的余弦值．
（2）若|AB|=2，|
BC
|=2
3
，在AC上确定一点D的位置，使得
DB
?
DM
达到最小，并求出最小值．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：用数量积表示两个向量的夹角



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）设|
AB
|=|
AC
|=a，cos＜
AB
+2
AC
，
AB
＞=
(
AB
+2
AC
)?
AB
  
|
AB
+2
AC
|  |
AC
|
=
a2+a2
7a2
a
= 
2
7
7

（2）因为＜
AB
，
AC
＞  =60°，|AB|=2，|
BC
|=2
3
，由余弦定理知：|AC|=4
M是AB的中点，所以AM=1，因为D是AC上一点，设AD=x，则DC=4-x，所以
DB
?
DM
=(
DA
+
AB
)  ?(
DA
+
AM
)=
DA
2+ 
DA
?
DM
+
AB
?
DA
+
AB
?
AM

=x2-
1
2
x-
1
2
×2x+2=(x-
3
4
)2+
23
16

所以当x=
3
4
∈(0，4)时，即D距A点
3
4
处，
DB
?
DM
取到最小，最小值为
23
16
．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在△ABC中，满足AB与AC的夹角为60°，M是AB的中点．（1）若|AB|=|AC|，..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。


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