函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(x2)且f（1）=1，在每个区间(12i，12i-1]（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（1）求f（0）及f(12)，f(1-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(x2)且f（1）=1，在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(

x

2

)且f（1）=1，在每个区间(

1

2i

，

1

2i-1

]（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．
（1）求f（0）及f(

1

2

)，f(

1

4

)的值，并归纳出f(

1

2i

)(i=1，2，…)的表达式
（2）设直线x=

1

2i

，x=

1

2i-1

，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a_i（i=1，2…），记S(k)=

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)，求S（k）的表达式，并写出其定义域和最小值．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的前n项和

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（0）=2f（0），得f（0）=0，
由f(1)=2f(

1

2

)及f（1）=1，得f(

1

2

)=

1

2

f(1)=

1

2

，
同理，f(

1

4

)=

1

2

f(

1

2

)=

1

4

，
归纳得f(

1

2i

)=

1

2i

(i=1，2，…)，
（2）当

1

2i

＜x≤

1

2i-1

时f(x)=

1

2i-1

+k(x-

1

2i-1

)ai=

1

2

[

1

2i-1

+

1

2i-1

+…+k(

1

2i

-

1

2i-1

)](

1

2i-1

-

1

2i

)=(1-

k

4

)

1

22i-1

(i=1，2，…)，
所以{a_n}是首项为

1

2

(1-

k

4

)，公比为

1

4

的等比数列，
所以S(k)=

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

1

2

(1-

k

4

)

1-

1

4

=

2

3

(1-

k

4

)S（k）的定义域为0＜k≤1，当k=1时取得最小值

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f(x2)且f（1）=1，在..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的前n项和”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的前n项和”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：