已知数列{an}中，a1=1，anan+1=(13)n，(n∈N*)，（1）求证：数列{a2n}与{a2n-1}（n∈N*）都是等比数列；（2）求数列{an}前2n的和T2n；（3）若数列{an}前2n的和为T2n，不等式81T2n?a2n≤2-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，anan+1=(13)n，(n∈N*)，（1）求证：数列{a2n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a1=1，anan+1=(

1

3

)n，(n∈N*)，
（1）求证：数列{a_2n}与{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比数列；
（2）求数列{a_n}前2n的和T_2n；
（3）若数列{a_n}前2n的和为T_2n，不等式81T_2n?a_2n≤2（1-ka_2n）对（n∈N^*）恒成立，求k的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵anan+1=(

1

3

)n，
∴

an+2

an

=

1

3

∴数列a₁，a₃，…a_2n-1，是以1为首项，

1

3

为公比的等比数列；
数列a₂，a₄，…，a_2n，是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（2）T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=

1-(

1

3

)n

1-

1

3

+

1

3

[1-(

1

3

)n]

1-

1

3

=2-2(

1

3

)n
（3）81T_2n?a_2n≤2（1-ka_2n），则81?[2-2(

1

3

)n]?(

1

3

)n≤2?[1-k(

1

3

)n]，
令t=(

1

3

)n，则81（1-t）t≤1-kt，kt≤1-81（1-t）t，∵t＞0，k≤81t+

1

t

-81
又81t+

1

t

-81≥2

81

-81=-63，等号当且仅当81t=

1

t

，t=

1

9

，
即(

1

3

)n=

1

9

，n=2时成立．故k≤-63，即k的最大值为-63．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，anan+1=(13)n，(n∈N*)，（1）求证：数列{a2n..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：