已知等比数列{an}，Sn是其前n项的和，且a1+a3=5，S4=15．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn=52+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn（III）比较（II）中Tn与12n3+2（n=1，2，3…）的大小-数学试题及答案

1、试题题目：已知等比数列{an}，Sn是其前n项的和，且a1+a3=5，S4=15．（I）求数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知等比数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

5

2

+log2an，求数列{b_n}的前n项和T_n
（III）比较（II）中T_n与

1

2

n3+2（n=1，2，3…）的大小，并说明理由．

试题来源：海淀区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设数列{a_n}的公比为q，则
方法一：a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10（2分）
∴q=2，a₁=1，则a_n=2^n-1（4分）
方法二：易知q≠1，则a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5S4=

a1(1-q4)

1-q

=

a1(1-q)(1+q)(1+q2)

1-q

=a1(1+q)(1+q2)=15，
则1+q=3（2分）
（以下同方法一）（4分）
（II）由（I）可得，bn=

5

2

+log22n-1=

5

2

+(n-1)=n+

3

2

，
所以数列{b_n}是一个以

5

2

为首项，1为公差的等差数列（5分）
∴Tn=

n(b1+bn)

2

(6分)
=

n(

5

2

+n+

3

2

)

2

=

n(n+4)

2

(9分)
（III）∵(

1

2

n3+2)-Tn=

1

2

(n3-n2-4n+4)=

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)（11分）
∴当n=1、2时，

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)=0，即T_n=

1

2

n3+2（12分）
当n≥3时，

1

2

(n-1)(n-2)(n+2)＞0，即T_n＜

1

2

n3+2（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等比数列{an}，Sn是其前n项的和，且a1+a3=5，S4=15．（I）求数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：