已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=-Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性-数学试题及答案

1、试题题目：已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-16 07:30:00

试题原文

已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=-Mf（x）成立．
（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；
（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：任意角的三角函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）取 M=1  对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=-sinπx=-g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P
（2）M=1时，f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；
（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=-Mh（x）成立．  既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx
若|M|＞1，取sinωx=1，则 sin（ωx+ωM）=-M对x∈R恒成立时不可能的．
若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则  sinωx=-

1

M

对x∈R也不成立．∴M=±1
当 M=1时 sin（ωx+ω）=-sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，2sin(ωx+

ω

2

)?cos

ω

2

=0（x∈R），cos

ω

2

=0解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；
当M=-1时 sin（ωx-ω）=sinωx，sin（ωx-ω）-sinωx=0，2cos(ωx-

ω

2

)?sin(-

ω

2

)=0（x∈R），sin

ω

2

=0解得：ω=2kπk∈Z
综上可得ω=kπ（k∈Z）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任..”的主要目的是检查您对于考点“高中任意角的三角函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中任意角的三角函数”。

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