已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时，F（x）＜0，且对任意的x∈[0，1]，不等式组F(2kx-x2)＜F(k-4)F(x2-kx)＜F(k-3)均成立，（1）求证：函数F（x）在R上为减函数（2）-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时，F（x）＜0，且对任意的x∈[0，1]，不等式组

F(2kx-x2)＜F(k-4)

F(x2-kx)＜F(k-3)

均成立，
（1）求证：函数F（x）在R上为减函数
（2）求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0∴F（x₂-x₁）＜0 …（1分）
∴F（x₂）=F（x₂-x₁）+F（x₁）＜F（x₁）∴函数F（x）在R上为减函数 …（4分）
（2）∵函数F（x）在R上为减函数∴

2kx-x2＞k-4

x2-kx＞k-3

对x∈[0，1]成立，…（6分）
依题有

f(x)=x2-2kx+k-4＜0

g(x)=x2-kx-k+3＞0

对x∈[0，1]成立
由于f（x）＜0对x∈[0，1]成立∴

f(0)＜0

f(1)＜0

∴-3＜k＜4①…（10分）
由于g（x）＞0对x∈[0，1]成立∴k＜

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

∴k＜(x+1)+

4

x+1

-2恒成立∴k＜2②…（14分）
综上由①、②得-3＜k＜2…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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