已知函数f(x)=x+2x，x≠0（1）用定义证明函数为奇函数；（2）用定义证明函数在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；（3）求函数在[1，4]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+2x，x≠0（1）用定义证明函数为奇函数；（2）用定义证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x+

2

x

，x≠0
（1）用定义证明函数为奇函数；
（2）用定义证明函数在（0，

2

）上单调递减，在（

2

，+∞）上单调递增；
（3）求函数在[1，4]上的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵函数的定义域关于原点对称，且函数f(x)=x+

2

x

，x≠0 满足
∴对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-x+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-f（x），
函数f(x)=x+

2

x

，x≠0是奇函数．（5分）
（2）设 0＜x₁＜x₂＜

2

，则 f（x₁）-f（x₂）=x1+

2

x1

-（x2+

2

x2

）
=（x₁-x₂）-

2(x1-x2)

x1?x2

=（x₁-x₂）（1-

2

x1?x2

）．
由0＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-

2

x1?x2

）＜0，
∴（x₁-x₂）（1-

2

x1?x2

）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函数在（0，

2

）上单调递减．
设

2

＜x₁＜x₂，同理可得 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

2

x1?x2

），
由

2

＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-

2

x1?x2

）＞0，
∴（x₁-x₂）（1-

2

x1?x2

）＜0，f（x₁）＜f（x₂），故函数在（

2

，+∞）上单调递增．（10分）
（3）由于函数在（1，

2

）上单调递减，在[

2

，4]上单调递增，
故当x=

2

时，函数有最小值等于f(

2

)=

2

+

2

=2

2

．
又 f（1）=1+2=3，f（4）=4+

2

4

=

9

2

，故函数在[1，4]上的最大值为

9

2

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+2x，x≠0（1）用定义证明函数为奇函数；（2）用定义证..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：