已知a＞0，a≠1，函数f(x)=ax(x≤1)-x+a(x＞1)若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大52，则a的值为_____

1、试题题目：已知a＞0，a≠1，函数f(x)=ax(x≤1)-x+a(x＞1)若函数f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知a＞0，a≠1，函数f(x)=

ax(x≤1)

-x+a(x＞1)

若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大

5

2

，则a的值为______．

试题来源：广州一模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①当0＜a＜1时，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是减函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（0）=a⁰=1＞-1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；
而f（2）=-2+a＜a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=-2+a
因此，-2+a+

5

2

=1，解之得a=

1

2

∈（0，1）符合题意；
②当a＞1时，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是增函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（1）=a＞-1+a，∴函数的最大值为f（1）=a
而f（2）=-2+a，f（0）=a⁰=1，可得
i）当a∈（1，3]时，-2+a＜1，得f（2）=-2+a为函数的最小值，
因此，-2+a+

5

2

=a矛盾，找不出a的值．
ii）当a∈（3，+∞）时，-2+a＞1，得f（0）=1为函数的最小值，
因此，1+

5

2

=a，解之得a=

7

2

∈（3，+∞），符合题意．
综上所述，实数a的值为

1

2

或

7

2

故答案为：

1

2

或

7

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，a≠1，函数f(x)=ax(x≤1)-x+a(x＞1)若函数f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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