设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．

试题来源：金华模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=2时，f（x）=x²+2|lnx-1|
=

x2-2lnx+2 (0＜x≤e)

x2+2lnx-2 (x＞e)

（2分）
当0＜x≤e时，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，
f（x）在（1，e]内单调递增；
当x≥e时，f′(x)=2x+

2

x

＞0恒成立，
故f（x）在[e，+∞）内单调递增；
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）．（6分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，
f′(x)=2x+

a

x

（x≥e）∵a＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，y_min=f（e）=e²．（8分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+a，
f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a

2

)(x-

a

2

)（1≤x＜e）
当

a

2

≥e，即a≥2e²时，
f′（x）在x∈（1，e）进为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，y_min=f（e）=e²．（14分）
所以函数y=f（x）的最小值为
ymin=

1+a，0＜a≤2

3a

2

-

a

2

ln

a

2

e2，a≥2e2

，2＜a＜2e2．
由条件得

1+a≥a

0＜a≤2

此时0＜a≤2；
或

3a

2

-

a

2

ln

a

2

≥a

2＜a＜2e2

，
此时2＜a≤2e；或

e2≥a

a≥2e2

，此时无解．
综上，0＜a≤2e．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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