已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n＜0．（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；（2）解不等式：f(x+12)＞f(32-x2)；（3）若f（x）≤t-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有

f(m)+f(n)

m+n

＜0．
（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）解不等式：f(x+

1

2

)＞f(

3

2

-x2)；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

?(x1-x2)
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＜0，又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）∵f（x）在[-1，1]上为减函数，
故有

x+

1

2

≥-1

3

2

-x2＞x+

1

2

3

2

-x2 ≤1

，
解得

2

≤x＜

5

-1

2

，或-

3

2

＜x≤-

2

，
∴解集为： [

2

，

5

-1

2

)∪[-

3

2

，-

2

)
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是减函数，
且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≥1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
∴

t2+2t≥0

t2-2t≥ 0

，
解得：t≤-2或t≥2或t=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：