21、设函数f（x）=ax3-2x2+x+c（a＞0）．（1）当a=1，且函数图象过点（0，1）时，求函数f（x）的极小值；（2）若f（x）在（-∞，+∞）上无极值点，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：21、设函数f（x）=ax3-2x2+x+c（a＞0）．（1）当a=1，且函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

21、设函数f（x）=ax³-2x²+x+c（a＞0）．
（1）当a=1，且函数图象过点（0，1）时，求函数f（x）的极小值；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上无极值点，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

函数的导数f'（x）=3ax²-4x+1，
（1）函数图象过点（0，1）时，有f（0）=c=1．
当a=1时，f'（x）=3x²-4x+1，令f'（x）=3x²-4x+1＞0，解得x＜

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3

或x＞1．由f'（x）=3x²-4x+1＜0得，

1

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＜x＜1．
所以函数f（x）在（-∞，

1

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]，[1，+∞）上单调递增，在[

1

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，1]上单调递减，所以函数的最小值为f（1）=1-2×1+1+1=1．
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上无极值点，则f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，即f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立．
①当a=0时，f'（x）=-4x+1，显然不满足条件．
②当a≠0时，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立的充要条件是△≤0，
即（-4）²-4×3a×1≤0，即16-12a≤0，解得a≥

4

3

．
综上，a的取值范围为[

4

3

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“21、设函数f（x）=ax3-2x2+x+c（a＞0）．（1）当a=1，且函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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