设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；（Ⅱ）-数学试题及答案

1、试题题目：设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=

1+x，x∈[-1，0)

1-x，x∈[0，1]

是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，
即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）函数g（x）满足题设条件．
验证如下：g（-1）=0=g（1）．
对任意的u，v∈[-1，1]，
当u，v∈[0，1]时，有|g（u）-g（v）|=|（1-u）-（1-v）|=|u-v|；
当u，v∈[-1，0]时，同理有|g（u）-g（v）|=|u-v|；
当u?v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，有|g（u）-g（v）|=|（1+u）-（1-v）|=|u+v|≤|v-u|．
所以，函数g（x）满足题设条件．
（Ⅲ）这样满足的函数不存在．
理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，则由f（-1）=f（1）=0，得|f（1）-f（-1）|=0，①
由于对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=|u-v|．
所以，|f（1）-f（-1）|=|1-（-1）|=2．②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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