（文）设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．（Ⅰ）若a≠b，ab≠0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数y=f（x）的图象交于点P（x0，f（x0）），求证：函数y=f（x）在点-数学试题及答案

1、试题题目：（文）设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．（Ⅰ）若a≠b，ab≠0，过两点（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

（文）设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．
（Ⅰ）若a≠b，ab≠0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数y=f（x）的图象交于点P（x₀，f（x₀）），求证：函数y=f（x）在点P处的切线过点（

4

3

，0）；
（Ⅱ）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时f（x）＜2a²恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线方程为x=

a

2

则P(

a

2

，

a2

4

(b-

a

2

))，…（1分）
y'=3x²-（2a+2b）x+ab，…（2分）
所求切线斜率为3(

a

2

)2-(2a+2b)?

a

2

+ab=-

a2

4

，…（3分）
切线方程为y-

a2

4

(b-

a

2

)=-

a2

4

(x-

a

2

)，令y=0，解得x=b，
所以，函数y=f （x）过点P的切线过点（b，0）…（5分）
（II）因为a=b，所以y=f（x）=x（x-a）²，
y′=3x2-4ax+a2=3(x-a)(x-

a

3

)，…（6分）
当a＞0时，函数y=f(x)在(-∞，

a

3

)上单调递增，在（

a

3

，a）单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
所以，根据题意有
即

4

27

a3＜2a2

a+1＜2a2

解之得1＜a＜

27

2

或a＜-

1

2

，结合a＞0，所以1＜a＜

27

2

…（9分）
当a＜0时，函数y=f(x)在(

a

3

，+∞)单调递增． …（10分）
所以，根据题意有f（1-a）＜2a²，…（11分）
即（1-a）（1-a-a）²＜2a²，整理得4a³-6a²+5a-1＞0，（*）
令g（a）=4a³-6a²+5a-1，∴g′(a)=12a2-12a+5=12(a-

1

2

)2+2＞0
∴g（a）在区间（-∞，0）单调递增，又g（0）=-1＜0，所以“*”不等式无解．…（13分）
综上可知：1＜a＜

27

2

． …（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（文）设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．（Ⅰ）若a≠b，ab≠0，过两点（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：