发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-07 07:30:00
试题原文 |
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(I)y=
因为当x∈(-∞,-2)时,y'>0, 当x∈(-2,2)时,y'<0, 当x∈(2,+∞)时,y'>0, 故所求函数的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞), 单调递减区间是(-2,2). (II)证明:(i)方法一: 令h(x)=f(x)-gt(x)=
当t>0时,由h'(x)=0,得x=t
当x∈(x
所以h(x)在(0,+∞)内的最小值是h(t
故当x>0时,f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立. 方法二: 对任意固定的x>0,令h(t)=gt(x)=t
由h'(t)=0,得t=x3. 当0<t<x3时,h'(t)>0. 当t>x3时,h'(t)<0, 所以当t=x3时,h(t)取得最大值h(x3)=
因此当x>0时,f(x)≥g(x)对任意正实数t成立. (ii)方法一:f(2)=
由(i)得,gt(2)≥gt(2)对任意正实数t成立. 即存在正实数x0=2,使得gx(2)≥gt(2)对任意正实数t成立. 下面证明x0的唯一性: 当x0≠2,x0>0,t=8时,f(x0)=
由(i)得,
再取t=x03,得gx03(x0)=
所以gx(x0)=4x0-
即x0≠2时,不满足gx(x0)≥gt(x0)对任意t>0都成立. 故有且仅有一个正实数x0=2, 使得gx(x0)0≥gt(x0)对任意正实数t成立. 方法二:对任意x0>0,gx(x0)=4x0-
因为gt(x0)关于t的最大值是
对任意正实数成立的充分必要条件是:4x0-
即(x0-2)2(x0+4)≤0,① 又因为x0>0,不等式①成立的充分必要条件是x0=2, 所以有且仅有一个正实数x0=2, 使得gx(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设f(x)=x33,对任意实数t,记gt(x)=t23x-23t.(I)求函数y=f(x)-g8..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的奇偶性、周期性”。