已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤12（x2+1）对一切实数x恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表达式．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤12（x2+1）对一切实数x恒成..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤

1

2

（x²+1）对一切实数x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表达式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵二次函数f（x）满足f（-1）=0，
且x≤f（x）≤

1

2

（x²+1）对一切实数x恒成立，
∴取x=1，得1≤f（1）≤

1

2

（1+1），
所以f（1）=1．
（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
因f（-1）=0，f（1）=1，
∴

a-b+c=0

a+b+c=1

，
∴a+c=b=

1

2

，
∵f（x）≥x对x∈R恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0对x∈R恒成立，
∴

a＞0

△=(b-1)2-4ac≤0

∴

a＞0

ac≥

1

16

∵a＞0，ac≥

1

16

＞0，
∴c＞0．
∵

1

2

=a+c≥2

ac

≥2

1

16

当且仅当a=c=

1

4

时，等式成立，
∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤12（x2+1）对一切实数x恒成..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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