定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x+2-x．（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；（2）判断f（x）在（-2，-1）上的单调性，并给予证明．-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x+2^-x．
（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；
（2）判断f（x）在（-2，-1）上的单调性，并给予证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，
所以f（-1）=f（-1+2）=f（1），且f（-1）=-f（1），于是f（-1）=0．…（2分）
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），f（x）=-f（-x）=-（2^-x+2^x）=-2^x-2^-x．…（5分）
所以f（x）在[-1，0）上的解析式为f(x)=

0， (x=-1)

-2x-2-x， (-1＜x＜0)

…（7分）
（2）f（x）在（-2，-1）上是单调增函数．…（9分）
先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．
[方法1]设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2x2+2-x2=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以2x1＜2x2， 2x1+x2＞1，于是2x1-2x2＜0， 1-

1

2x1+x2

＞0，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）
因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）
[方法2]当x∈（0，1）时，f'（x）=（2^x-2^-x）ln2．
因为ln2＞0，2^x-2^-x＞0，所以f'（x）=（2^x-2^-x）ln2＞0，
所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）
因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（-2，-1）上亦为单调增函数．…（14分）
[注]第（2）小题亦可利用周期性求出f（x）=2^x+2+2^-x-2（-2＜x＜-1），再利用定义或导数确定单调性．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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