烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反-数学试题及答案

1、试题题目：烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20k..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y．
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．

试题来源：湛江二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；…（3分）
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：y=

k

x2

+

k?8

(20-x)2

，（0＜x＜20）…（6分）
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得y′=-

2k

x3

+

16k

(20-x)3

=

2k(9x3-60x2+1200x-8000)

x3(20-x)3

；…（9分）
令y'=0，得（3x-20）?（3x²+400）=0；
又0＜x＜20，∴x=

20

3

．…（12分）
∵当x∈(0 ，

20

3

)时，y'＜0；当x∈(

20

3

， 20)时，y'＞0，
∴当x=

20

3

时，y取最小值．
故存在点C，当AC=

20

3

km时，该点的烟尘浓度最低．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20k..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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