已知函数f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，+∞）时，f(x)-23＞a2恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求函数f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

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x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时，f(x)-

2

3

＞a2恒成立，求a的取值范围．

试题来源：揭阳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导函数，可得f'（x）=x²-2bx+2
∵x=2是f（x）的一个极值点
∴f'（2）=4-4b+2=0，∴b=

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，--------------------------------------------（2分）
∴f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）------------------------------------------（4分）
由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞）；------（6分）
由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函数f（x）的单调减区间为（1，2），---------------------（8分）
（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（x）_min=f（2）=a+

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3

，------------------（10分）
x∈[1，+∞）时，f(x)-

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3

＞a2恒成立等价于a2＜f(x)min-

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3

，x∈[1，+∞)-----------（12分）
即a²-a＜0，
∴0＜a＜1．----------------------------------------------------（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求函数f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：