已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线l斜率为3，当x=23时，有极值．（1）求f（x）的解析式；（2）写出f（x）的单调区间；（3）求f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线l斜率为3，当x=23时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线l斜率为3，当x=

2

3

时，有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意，得

f′(

2

3

)=3×(

2

3

)2+2a×

2

3

+b=0

f′(1)=3×12+2a×1+b=3

，解

a=2

b=-4

；
所以，f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）=0，得x₁=-2，x₂=

2

3

；
当x＜-2，或x＞

2

3

时，f′（x）＞0，单增区间是（-∞，-2），或（

2

3

，+∞）
当-2＜x＜

2

3

时，f′（x）＜0，单减区间是（-2，

2

3

）
（3）当变化时，f（x），f′（x）变化情况如下表

x

-3

（-3，-2）

-2

（-2，

2

3

）

2

3

（

2

3

，1）

1

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

函数值

-2

13

95

27

4

由表可知，f（x）最小值=f（3）=-2，f（x）最大值=f（-2）=13

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线l斜率为3，当x=23时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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