已知直线l1：x-y=0，l2：x+y=0，点P是线性约束条件x-y≥0x+y≥0所表示区域内一动点，PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M、N，且S△OMN=12（O为坐标原点）．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l1：x-y=0，l2：x+y=0，点P是线性约束条件x-y≥0x+y≥0所表示..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知直线l₁：x-y=0，l₂：x+y=0，点P是线性约束条件

x-y≥0

x+y≥0

所表示区域内一动点，PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M、N，且S△OMN=

1

2

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在过点（2，0）的直线l与（Ⅰ）中轨迹交于点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于Q点，且使得△ABQ是等边三角形．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设P（x₀，y₀），由题意有l₁⊥l₂，且PM⊥l₁，PN⊥l₂，
∴四边形PMON是矩形，
∴S_PMON=2S_△MON=|PM|?|PN|=1，
∴

|x0-y0|

2

?

|x0+y0|

2

=1，
∴|x₀²-y₀²|=2，
∵P在

x-y≥0

x+y≥0

所表示的区域内，
∴x₀²-y₀²=2（x₀＞0），
所以求得动点P的轨迹方程为x²-y²=2（x＞0）．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．
当l⊥x轴时，有l：x=2．
此时|AB|=2

2

，|AQ|=|BQ|=

6

，△ABQ不是正三角形．
当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-2），
并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2-y2=2

y=k(x-2)

，
得（1-k²）x²+4k²-2=0，
△=8k²+8＞0恒成立，
∵l与双曲线的右支交于两点，
∴|k|＞1．
∴x1+x2=

4k2

k2-1

，y1+y2=

4k

k2-1

，

∴线段AB的中点M(

2k2

k2-1

，

2k

k2-1

)，
∴线段AB的垂直平分线为y-

2k

k2-1

=-

1

k

(x-

2k2

k2-1

)，
∴Q(0，

4k

k2-1

)，
∵△ABQ是等边三角形，
∴|MQ|=

3

2

|AB|．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l1：x-y=0，l2：x+y=0，点P是线性约束条件x-y≥0x+y≥0所表示..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：