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1、试题题目:已知F1,F2分别为椭圆x23+y22=1的左、右焦点,直线l1过点F1且垂直..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知F1,F2分别为椭圆
x2
3
+
y2
2
=1
的左、右焦点,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1,垂足为D,线段DF2的垂直平分线交l2于点M.
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q,设=λ,若λ∈[2,3],求
F2P?
F2Q
的取值范围.

  试题来源:丰台区一模   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:动点的轨迹方程



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)设M(x,y),则D(-1,y),由中垂线的性质知|MD|=|MF2|
∴|x+1|=
(x-1)2+y2
化简得C的方程为y2=4x(3分)
(另:由|MD|=|MF2|知曲线C是以x轴为对称轴,以F2为焦点,以l1为准线的抛物线
所以,
p
2
=1
,则动点M的轨迹C的方程为y2=4x)
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由
F1P=
λ?F1Q
x1+1=λ(x2+1) 
y1=λ y2

又由P(x1,y1),Q(x2,y2)在曲线C上知
y12=4x1
y22=4x2
,②
由①②解得
x1
x2=
1
λ

所以有x1x2=1,y1y2=4(8分)
F2P?
F2Q
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-x1-x2+1+y1y2=6-(λ+
1
λ
)
(10分)
u=λ+
1
λ
,有u=(λ+
1
λ
)=1-
1
λ2
>0  ?  u=λ+
1
λ
在区间[2,3]上是增函数,
5
2
≤λ+
1
λ
10
3
,进而有
8
3
≤6-(λ+
1
λ
)≤
7
2

所以,
F2P?
F2Q
的取值范围是[
8
3
7
2
]
(13分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知F1,F2分别为椭圆x23+y22=1的左、右焦点,直线l1过点F1且垂直..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中动点的轨迹方程”。


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