已知点F（0，1），一动圆过点F且与圆x2+（y+1）2=8内切，（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（a）；（3）在0＜a＜1的条件下，-数学试题及答案

1、试题题目：已知点F（0，1），一动圆过点F且与圆x2+（y+1）2=8内切，（1）求动圆圆..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知点F（0，1），一动圆过点F且与圆x²+（y+1）²=8内切，
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（a）；
（3）在0＜a＜1的条件下，设△POA的面积为s₁（O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点），以d（a）为边长的正方形的面积为s₂．若正数m满足s1≤

1

4

ms2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设圆心坐标为P（x，y），则动圆的半径为r=

x2+(y-1)2

，
又动圆与x²+（y+1）²=8内切，
∴

x2+(y+1)2

=|2

2

-r|，
整理得2x²+y²=2，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为2x²+y²=2．
（2）设P（x，y），则
|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²
=-x²-2ax+a²+2
=-（x+a）²+2a²+2，
令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，
∴当-a＜-1，即a＞1时，f（x）在[-1，1]上是减函数，
[f（x）]_max=f（-1）=（a+1）²．
当-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，f（x）在[-1，-a]上是增函数，在[-a，1]上是减函数，
则[f（x）]_max=f（-a）=2a²+2．
当-a＞1，即a＜-1时，f（x）在[-1，1]上是增函数，
[f（x）]_max=f（1）=（a-1）²，
∴d(a)=

1-a，a＜-1

2a2+2

，-1≤a≤1

1+a，a＞1

．
（3）当0＜a＜1时，P（a，±

2-2a2

），于是S1=

1

2

a

2(1-a2)

，S₂=2a²+2，
若正数m满足条件，则

1

2

a

2(1-a2)

≤

1

4

m(2a2+2)，
即m≥

a

2(1-a2)

a2+1

，
m2≥

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，令f(a)=

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，
设t=a²+1，则t∈（1，2），a²=t-1，
于是f(a)=

2(t-1)(2-t)

t2

=2(

-t2+3t-2

t2

)=2(-

2

t2

+

3

t

-1)=-4(

1

t

-

3

4

)2+

1

4

，
∴当

1

t

=

3

4

，即t=

4

3

∈(1，2)时，[f(a) ]max=

1

4

，
即m2≥

1

4

，m≥

1

2

，∴m存在最小值

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点F（0，1），一动圆过点F且与圆x2+（y+1）2=8内切，（1）求动圆圆..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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