设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f‘（x）满足0＜f‘（x）＜1．”（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素-数学试题及答案

1、试题题目：设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-25 07:30:00

试题原文

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根； ②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于
任意[m，n]D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根．

试题来源：安徽省期中题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：反证法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）因为

，
所以

满足条件0＜f'（x）＜1，
又因为当x=0时，f（0）=0，
所以方程f（x）﹣x=0有实数根0．
所以函数

是集合M中的元素．
（II）证明：假设方程f（x）﹣x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0不妨设α＜β，
根据题意存在数c∈（α，β），使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f'（c）成立
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x=0只有一个实数根．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中反证法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中反证法”。

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