设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过M（2，2），N（6，1）两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且OA⊥OB？-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过M（2，2），N（6，1）两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过M（2，

2

），N（

6

，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）椭圆E过M、N
∴

4

a2

+

2

b2

=1

6

a2

+

1

b2

=1

∴

a2=8

b2=4

∴椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1（5分）
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由

y=kx+m

x2

8

+

y2

4

=1

∴（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
当△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0

x1+x2=-

4km

1+2k2

x1x2=

2m2-8

1+2k2

y1y2=( kx1+m ) ( kx2+m )=k2x1x2+km ( x1+x2)+m2=

m2-8k2

1+2k2

，要使

OA

⊥

OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0∴

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0
∴3m²-8k²-8=0∴k2=

3m2-8

8

≥0
又 8k²-m²+4＞0∴

m2＞2

3m2≥8

∴m2≥

8

3

∴m≥

2

6

3

或 m≤-

2

6

3

又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴r=

|m|

1+k2

，即r2=

m2

1+k2

=

m2

1+

3m2-8

8

=

8

3

，r=

2

6

3

∴所求圆：x2+y2=

8

3

当切线斜率不存在时，切线为x=±

2

6

3

，与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1交于（

2

6

3

，±

2

6

3

）
或（-

2

6

3

，±

2

6

3

），满足

OA

⊥

OB

综上：存在这样的圆x2+y2=

8

3

满足条件（9分）
∵|AB| =

1+k2

|x1-x2| =

32 (4k4+5k2+1)

3 (4k4+4k2+1)

=

32

3

( 1+

k2

4k4+4k2+1

)

当k≠0时，|AB|=

32

3

(1+

1

4k2+

1

k2

+4

)

∴

4

6

3

＜ |AB| ≤2

3

（当k=±

2

时取等）
当k=0时，|AB| =

4

3

6

当k不存时，|AB| =

4

3

6

∴|AB| ∈[

4

3

6

， 2

3

]（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过M（2，2），N（6，1）两..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：