已知直线l1：ax-by+k=0；l2：kx-y-1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l1：ax-by+k=0；l2：kx-y-1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知直线l₁：ax-by+k=0；l₂：kx-y-1=0，其中a是常数，a≠0．
（1）求直线l₁和l₂交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．
（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

ax-by+k=0

kx-y-1=0

消去k，得y²-ax²=1
①当a＞0时，轨迹是双曲线，焦点为(0，±

1+

1

a

)，离心率e=

1+

1

a

；
②当-1＜a＜0时，轨迹是椭圆，焦点为(±

-1-

1

a

，0)，离心率e=

1+a

；
③当a=-1时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为1；
④当a＜-1时，轨迹是椭圆，焦点为(0，±

1+

1

a

)，离心率e=

1+

1

a

（2）当a＞0时，y≥1时，轨迹是双曲线y²-ax²=1的上半支．
∵|PA|²=x²+（y-b）²=

y2-1

a

+y2-2by+b2
=

a+1

a

(y-

ab

a+1

)2+

ab2-a-1

a(a+1)

①当b＞

a+1

a

时，|PA|的最小值为

ab2-a-1

a(a+1)

；
②当 b≤

a+1

a

时，|PA|的最小值为|1-b|

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l1：ax-by+k=0；l2：kx-y-1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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