在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与椭圆C：x216+y24=1相交于A、B两点，且OA+OB＞AB．（1）求m的取值范围；（2）若以AB为直径的圆经过O点，求直线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与椭圆C：x216+y24=1相交于A、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与椭圆C：

x2

16

+

y2

4

=1相交于A、B两点，且OA+OB＞AB．
（1）求m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆经过O点，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由方程组

x2

16

+

y2

4

=1

y=x+m

得：5x²+8mx+（4m²-16）=0，…（2分）
因为直线 l椭圆C有两个交点，所以△=（8m）²-4×5×（4m²-16）＞0…（4分），
解得-2

5

＜m＜2

5

…（5分），
又因为OA+OB＞AB，所以O?l，m≠0，所以m的取值范围是（-2

5

，0）∪（0，2

5

）…（6分）．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由（1）得x₁+x₂=-

8m

5

，x₁?x₂=

4m2-16

5

，
以AB为直径的圆经过点，所以∠AOB=90°…（8分），

QA

?

OB

=x₁?x₂+y₁?y₂=0…（9分），
由y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，…（10分），
得

QA

?

OB

=x₁?x₂+y₁?y₂=2x₁?x₂+m（x₁+x₂）+m²
=

8m2-32

5

-

8m2

5

+m²=0…（12分），
解得m=±

4

10

5

…（13分），所以直线l的方程是：
y=x+

4

10

5

或y=x-

4

10

5

…（14分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与椭圆C：x216+y24=1相交于A、..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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