已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+1xy的最小值是_____

1、试题题目：已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+1xy的最小值是______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-06 07:30:00

试题原文

已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+

1

xy

的最小值是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：基本不等式及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设m=x+1 n=2y+1 所以mn=2
x=1-m，y=

1-n

2

4xy+

1

xy

=2（m-1）（n-1）+

2

(m-1)(n-1)

=2（（mn-m-n+1）+

1

mn-m-n+1

）
=2（（3-m-n）+

1

3-m-n

）
∵m+n≥2

mn

=2

2

∴原式的最小值为12
方法二：
∵（1+x）（1+2y）=2，
∴1+x+2y+2xy=2
即x+2y=1-2xy≥2

2xy

令

2xy

=t＞则xy=

t2

2

即1-t²≥2t 则0＜t≤

2

-1，则0＜t²=2xy≤3-2

2

不妨令u=2xy∈（0，3-2

2

]
则4xy+

1

xy

=2u+

2

u

，在区间（0，3-2

2

]上单调递减
故当u=3-2

2

时4xy+

1

xy

取最小值12
故答案为：12

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+1xy的最小值是______．”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。

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