已知函数f（x）=2x（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；（2）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2x（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-25 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2^x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）F(x)max=

1+a，a＞-

1

2

1

4a

，a≤-

1

2

（2）令2^x=t，则存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t²-at＞1或t²-at＜-1
即存在t∈（0，1）使得a＜(t-

1

t

)max或a＞(t+

1

t

)min
∴a＜0或a≥2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为

x+1

≤2x+a恒成立
∴a≥(-2x+

x+1

)max
设m（x）=-2x+

x+1

令

x+1

=t，则x=t2-1，t∈[1，4]
∴m(t)=-2(t2-1)+t=-2(t-

1

4

)2+

17

8

所以，当t=1时，m（x）_max=1∴a≥1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2x（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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