已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．（1）求a的值；（2）对于函数F（x）及其定义域D，若存在x0∈D，使F（x0）=x0成立，则称x0为-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-26 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）对于函数F（x）及其定义域D，若存在x₀∈D，使F（x₀）=x₀成立，则称x₀为F（x）的不动点．若f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，求实数b的取值范围；
（3）若n为正整数，证明：10f(n)?(

4

5

)g(n)＜4．
（参考数据：lg3=0.3010，(

4

5

)9=0.1342，(

4

5

)16=0.0281，(

4

5

)25=0.0038）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1．
又a＞0，∴a=1． …（2分）
（2）由（1）知，f(x)+g(x)+b=

x2+3x+bx≥1

x2+x+2+bx＜1

．
当x≥1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x²+3x+b=x，即b=-x²-2x=-（x+1）²+1．                   …（3分）
∵x≥1，∴-（x+1）²+1≤-3，此时b≤-3．       …（4分）
当x＜1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x²+x+2+b=x，即b=-x²-2…（5分）
∵x＜1，∴-x²-2≤-2，此时b≤-2．            …（6分）
故要使得f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，则实数b的取值范围应为（-∞，-2]．  …（7分）
（3）证明：设G(n)=10f(n )?(

4

5

)g( n )．
因为n为正整数，
∴G(n)=10n-1?(

4

5

) n2+2n+1＞0． …（8分）
∴

G(n+1)

G(n)

=

10n?(

4

5

) (n+1)2+2(n+1)+1

10n-1?(

4

5

) n2+2n+1

=10×(

4

5

) 2n+3． …（9分）
当

G(n+1)

G(n)

＜1时，10×(

4

5

) 2n+3＜1，即(2n+3)lg(

4

5

)＜-1，亦即2n+3＞

-1

3lg2-1

，∴n＞

1

2-6lg2

-

3

2

≈3.7． …（11分）
由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（n）单调递减．
∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}． …（12分）
又G(3)=102×(

4

5

)16=100×0.0281=2.81，G(4)=103×(

4

5

)25=1000×0.0038=3.8，
…（13分）
∴G（n）≤G（4）＜4． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：