已知函数f(x)=(13)x．（1）若f-1（mx2+mx+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f2（x）-2af（x）+3的最小值g（a）．（3）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(13)x．（1）若f-1（mx2+mx+1）的定义域为R，求实数m的取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-26 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(

1

3

)x．
（1）若f^-1（mx²+mx+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f²（x）-2af（x）+3的最小值g（a）．
（3）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f-1(x)=log

1

3

x（x＞0），…（2分）
∴f-1(mx2+mx+1)=log

1

3

(mx2+mx+1)，
由题知，mx²+mx+1＞0恒成立，
∴1⁰当m=0时，1＞0满足题意；…（3分）
2⁰当m≠0时，应有

m＞0

△=m2-4m＜0

?0＜m＜4，
∴实数m的取值范围为0≤m＜4．…（5分）
（2）∵x∈[-1，1]，∴(

1

3

)x∈[

1

3

，3]，
y=f²（x）-2af（x）+3=[(

1

3

)x]2-2a(

1

3

)x+3=[(

1

3

)x-a]2+3-a2，…（7分）
当a＜

1

3

时，ymin=g(a)=

28

9

-

2a

3

；
当

1

3

≤a≤3时，y_min=g（a）=3-a²；
当a＞3时，y_min=g（a）=12-6a．
∴g(a)=

28

9

-

2a

3

(a＜

1

3

)

3-a2 (

1

3

≤a≤3)

12-6a (a＞3)

．
（3）∵m＞n＞3，∴g（x）=12-6x，在（3，+∞）上是减函数．
∵g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，
∴

12-6m=n2

12-6n=m2

，

①

②

…（12分）
②-①得：6（m-n）=（m+n）（m-n），
∵m＞n＞3，∴m+n=6．但这与“m＞n＞3”矛盾．
∴满足题意的m、n不存在． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(13)x．（1）若f-1（mx2+mx+1）的定义域为R，求实数m的取..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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