在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=12(an+1an)，（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．-数学试题及答案

1、试题题目：在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=12(an+1an)，（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足Sn=

1

2

(an+

1

an

)，
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）易求得a1=1，a2=

2

-1，a3=

3

-

2

（3分）；
（2）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)（5分）
证明：①当n=1时，a1=

1

-

0

=1，命题成立
②假设n=k时，ak=

k

-

k-1

成立，（8分）
则n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(

k

-

k-1

+

1

k

-

k-1

)=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

k

，
所以，

a

2k+1

+2

k

ak+1-1=0，∴ak+1=

k+1

-

k

．
即n=k+1时，命题成立．
由①②知，n∈N^*时，an=

n

-

n-1

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=12(an+1an)，（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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