本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题-数学试题及答案

1、试题题目：本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-02 07:30:00

试题原文

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线C1：

x=1+tcosα

y=tsinα

（t为参数），C2：

x=cosθ

y=sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=

π

3

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求

4a+1

+

4b+1

+

4c+1

的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柯西不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由条件得矩阵M=

2	0
0	3

，
它的特征值为2和3，对应的特征向量为

1

0

及

0

1

；（4分）
（Ⅱ）M-1=

1

2

0

1

3

，椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．（7分）
（2）（Ⅰ）当α=

π

3

时，C₁的普通方程为y=

3

(x-1)，
C₂的普通方程为x²+y²=1．联立方程组

y=

3

(x-1)

x2+y2=1

，
解得C₁与C₂的交点为（1，0），(

1

2

，-

3

2

)．（4分）
（Ⅱ）C₁的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0．A点坐标为（sin²α，-cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：

x=

1

2

sin2α

y=-

1

2

sinαcosα

（α为参数）（7分）
（3）由柯西不等式得
(1?

4a+1

+1?

4b+1

+1?

4c+1

)≤(12+12+12)?（4a+1+4b+1+4c+1）
=3[4（a+b+c）+3]=2（15分）
当且仅当a=b=c=

1

3

时等号成立
故

4a+1

+

4b+1

+

4c+1

的最大值为

21

．（7分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满..”的主要目的是检查您对于考点“高中柯西不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柯西不等式”。

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