已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为22．（I）求椭圆E的方程；（II）若直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A、B两点，若△OAB的面积为23，求直线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为22．（I..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为

2

．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A、B两点，若△OAB的面积为

2

3

，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则
∵椭圆E过点（0，1），离心率为

2

，
∴

b=1

c

a

=

2

a2=b2+c2

，∴a²=2，b²=1
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）（1）l⊥x轴时，A（-1，-

2

），B（-1，

2

），|AB|=

2

∴△OAB的面积为

1

2

×

2

×1=

2

，不满足题意；
（2）l与x轴不垂直时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4k2

(1+2k2)2

+

4k2

1+2k2

∵S_△OAB=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

2

3

∴|y₁-y₂|=

4

3

∴

4k2

(1+2k2)2

+

4k2

1+2k2

=

4

3

∴k⁴+k²-2=0
∴k=±1
∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为22．（I..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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