设椭圆C：x2a2+y2=1（a＞0）的两个焦点是F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），且椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点的最短距离为3-2，求椭圆的方程；（Ⅲ）-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆C：x2a2+y2=1（a＞0）的两个焦点是F1（-c，0）和F2（c..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

设椭圆C：

x2

a2

+y2=1（a＞0）的两个焦点是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且椭圆C与圆x²+y²=c²有公共点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点的最短距离为

3

-

2

，求椭圆的方程；
（Ⅲ）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k≠0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

试题来源：焦作二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知，a＞1，
∴方程组

x2

a2

+y2=1

x2+y2=c2

有实数解，从而(1-

1

a2

)x2=c2-1≥0，
故c²≥1，所以a²≥2，即a的取值范围是[

2

，+∞)．
（Ⅱ）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F₂（c，0）的距离为d，
则d2=(x-c)2+y2=x2-2cx+c2+1-

x2

a2

=

c2

a2

x2-2cx+c2+1
=

c2

a2

(x-

a2

c

)2（-a≤x≤a）．
∵

a2

c

＞a，
∴当x=a时，d_min=a-c，
（可以直接用结论）
于是，

a-c=

3

-

2

a2-c2=1

，
解得

a=

3

c=

2

．
∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（Ⅲ）由

y=kx+m

x2+3y2=3

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0（*）
∵直线l与椭圆交于不同两点，
∴△＞0，即m²＜3k²+1．①
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个实数解，
∴x1+x2=-

6mk

3k2+1

，
∴线段MN的中点为Q(-

3mk

3k2+1

，

m

3k2+1

)，
又∵线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），
∴AQ⊥MN，
即-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1（k≠0）②
由①，②得m²＜2m，0＜m＜2，又由②得m＞

1

2

，
∴实数m的取值范围是(

1

2

，2)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆C：x2a2+y2=1（a＞0）的两个焦点是F1（-c，0）和F2（c..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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